CMO2012讨论帖：第一题 、第二题、第三题
- 如图，在三角形ABC中，∠A为最大角，外接圆上两点D、E分别为
 与 的中点。记过点A、B且与AC相切的圆为⊙O1；过点A、E且与AD相切的圆为⊙O2，⊙O1与⊙O2交于点A和P，证明：AP平分∠BAC。
- 给定素数p，设A=(aij)是一个p×p的矩阵，满足{aij|1≤i,j≤p}=｛1,2,....,p2｝。允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1，若可以通过有限多次上述操作将A中元素全变为0，则称A是一个“好矩阵”，求“好矩阵”A的个数。
- 证明：对于任意实数M>2，总存在同时满足下列各个条件的无穷项严格递增的正整数列a1,a2,...
（1）对每个正整数i，有ai>Mi；（2）当且仅当整数n≠0时，存在正整数m以及b1,b2,...,bm∈{-1,1}，使得n=b1a1+b2a2+...+bmam。
- 设f(x)=(x+a)(x+b) (a,b是给定的正实数)，n≥2为给定的整数，对满足x1+x2+...+xn=1的非负实数x1，x2，...，xn，求
 的最大值
- 设n为武平方因子的正偶数，k为整数，p为素数，满足
 ，p|n，p|n+k2，证明：n可以表示为n=ab+bc+ca，其中a，b，c为互不相同的正整数.
（注：若一个整数不能被大于1的平方数整除，则称该整数为无平方因子数。）
- 求满足下面条件的最小正整数k：对集合S={1,2,...,2012}的任意一个k元子集A，都存在S中的三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均在A中。
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