有关abc的不等式5

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华东师大的奥数丛书用的是换元法 但好像比较难想
有没有比较易想的方法的?

月影星魂

发现楼主发的题都是小丛书上的...

鱼儿

设a,b,c是正数，求证：
Σ[b^3/(a^2+8bc)]>=(a+b+c)/9    (1)

证明：由柯西不等式得
[Σb(a^2+8bc)][Σ(b^3/(a^2+8bc)]>=(Σb^2)^2=(Σa^2)^2
于是有
Σ[b^3/(a^2+8bc)]>=(Σa^2)^2/Σb(a^2+8bc)
=(Σa^2)^2/(Σa^2*b+8Σb^2*c)
=(Σa^2)^2/[9Σ(b^2*c)]
所以，要证(1),只须证
(Σa^2)^2>=(Σa)[Σ(b^2*c)]    (2)
而 (2)<==>Σa^4+Σ(bc)^2>=abcΣa+Σb^3*c
<==>(Σa^4-Σb^3*c)+[Σ(bc)^2-abcΣa]>=0
<==>(Σa^4-Σb^3*c)+(1/2)Σ(ca-ab)^2>=0    (3)
由(1)的轮换对称性,不妨设a>=b,c,则
Σa^4-Σb^3*c=a^3*(a-b)+b^3*(b-c)+c^3*(c-a)
=a^3*(a-b)+b^3*(b-c)+c^3*[(c-b)+(b-a)]
=(a^3-c^3)(a-b)+(b^3-c^3)(b-c)
=(a^2+ac+c^2)(a-c)(a-b)+(b^2+bc+c^2)(b-c)^2
>=0
故知,不等式(3)成立,从而不等式(1)成立.

icekiller

这类题都用那种倒数的方法