最大与最小

叶老师

这一讲就来研究某个量在一定条件下取得最大值或最小值问题。这类问题题目中经常出现“最小”、“至少”、“至多”等术语。经常只能根据具体问题，综合运用所学知识进行求解。
例1  某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品。在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？
分析：想用100元钱买到最多的花朵，题目中有三种花束：
A种：由20朵花组成的花束价值4元
B种：由35朵花组成的花束价值6元
C种：由50朵花组成的花束每束价值9元
平均1元钱可买A种花朵5朵或B种花朵5.8朵或C种花朵5.5朵，为了买到最多的花朵，应该多买B种花束
解：经分析可知由35朵花组成的B种花束中的花朵最便宜，宜多买。由于每束6元，故100元钱可买16束，还剩4元钱，这4元钱恰好买一束由20朵花组成的A种花束，这时共买花朵：16×35+20=580（朵），若B种花束少买几束，增加A种或C种花束的数量，都不能使花朵数达到580朵。
因此，应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵。
说明：此题也可设A种、B种、C种花束各买x束、y束、z束时，可使花朵最多，列方程：4x+6y+9z=100，x，y，z是自然数
可以先缩小字母的取值范围。例如12元能买3束A种花束或2束B种花束，分别得到60朵花和70朵花，于是很清楚在最优解中A种花束不应超过2束。同理，比较B种花束和C种花束，发现要使花朵最多，C种花束不应超过1束，即x≦2，z≦1，下面只有很少的几种情况了，可以一一列举，同样可以求得x=1，z=0，y=16
例2  有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字恰好是它前面两个数字之和，如134，1459等等，求这类数中最大的自然数和最小的自然数。
分析：要得到最大的自然数，应使得这个自然数的位数尽可能地多。如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的位数越少，所以若想按规则构造最大的自然数，前两个数字应取10，这类数中，最小的应是三位数，先考虑百位为1的自然数，若十位数字为a，则个位数字为（a+1），只有当a+（a+1）>9时，即a≥5时，才能保证按规则构造的数是三位数，取a=5。
解：这类数中最大的是10112358，最小的是156。
说明：在自然数中求满足条件的某个量的最值问题（常称离散最值问题）往往解法比较灵活，但只要仔细分析条件，进行深入细致的推理，是不难解决的。这对培养学生的创新思维能力是非常好的材料。