柯西不等式有关的题

zbwow307o0

对柯西不等式不熟的朋友可以认真做下


1、设`a,b,c>0`且`a!=b!=c`。求证：`2/(a+b) +2/(b+c) +2/(c+a)>9/(a+b+c)`


2、已知`a、b、c in R^+`且`a+b+c=1`，求`sqrt(4a+1)+sqrt(4b+1)+sqrt(4c+1)`的最大值


3、已知实数`a ,b ,c ，d `满足`a+b+c+d=3`, `a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5`,试求`a`的最值









[ 本帖最后由 zbwow307o0 于 2008-5-31 15:54 编辑 ]

No.15

[smiles0]

张锦州

楼主还有更多的柯西不等式的试题吗？
有的话，发出来大家共享一下

j20120307

LS好像~~~~~那个论坛都出现过，可是都很~~~~~~~

j20120307

1.证明：`2/(a+b)+2/(b+c)+2/(a+c)>9/(a+b+c)`
`((a+b)/2+(b+c)/2+(a+c)/2)×(2/(a+b)+2/(b+c)+2/(a+c))>=(1+1+1)^2=9`
`(a+b+c)(2/(a+b)+2/(b+c)+2/(a+c))>=9`
所以`2/(a+b)+2/(b+c)+2/(a+c)>=9/(a+b+c)`，等号当且仅当`a=b=c`时取得。因为`a!=b!=c`
所以`2/(a+b)+2/(b+c)+2/(a+c)>9/(a+b+c)`。

j20120307

2、已知`a、b、cinR^+`且`a+b+c=1`，求`sqrt(4a+1)+sqrt(4b+1)+sqrt(4c+1)`的最大值。
解：`(4a+1+4b+1+4c+1)(1+1+1)>=(sqrt(4a+1)+sqrt(4b+1)+sqrt(4c+1))^2`
`21>=(sqrt(4a+1)+sqrt(4b+1)+sqrt(4c+1))^2`
`sqrt(4a+1)+sqrt(4b+1)+sqrt(4c+1)<=sqrt21`
取等号当且仅当`a=b=c=1/3`

j20120307

3、已知实数`a ,b ,c ，d` 满足`a+b+c+d=3`,` a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5`,试求`a`的最值
解：`b+c+d=3-a`,`2b^2+3c^2+6d^2=5-a^2`
`(2b^2+3c^2+6d^2)×(1/2+1/3+1/6)>=(b+c+d)^2`
`5-a^2>=9-6a+a^2`
`2a^2-6a+4<=0`
`a^2-3a+2<=0`
`(a-1)×(a-2)<=0`
所以`1<=a<=2`。

j20120307

题都很简单的

wxzfh

哈哈哈哈好的啊不错