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导函数介值定理的推广（Darboux中值定理推广）
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达布中值定理(Darboux)：若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.
这个已经证明了。
微分Darboux定理的推广:
若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值.
我的思路就是构造函数：但不知道如何构造一个函数，使得这个函数的导数为f'(x)/g'(x)？
大家帮帮忙。谢啦。 |
| 最佳答案 | 凡星有梦 |
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本帖最后由 凡星有梦 于 2010-3-1 11:36 编辑
令h(t)为f'(x)/g'(x)在a到t上的变上限定积分。
只要能证明f'(x)/g'(x)在[a，b]上可积就行了。
定积分的基本性质：可积函数的乘积可积。
f'(x)可积不用说，主要是证明1/g'(x)可积。
如果g(x)单调的话就可以直接求了，而g'(x)≠0知其必单调。
所以利用上面的达布定理就可以直接证明了。
h(t)就是在[a,b]上可导的函数。
h'(t)=f'(t)/g'(t)
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发表于 2010-3-1 10:34
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发表于 2010-3-1 22:04
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