小题一道

icesheep

若干个正整数之和为S，求这些正整数的积的最大值

鱼头码

...这题能做吗？

icesheep

当然能做...比如若干个正整数和为7,这些数积最大为12

xdl9267

要说清是几个才能写把

icesheep

拆成几个乘积到最大就几个咯~~

NoLifeKing

设这n个数组成数列{a_n}
积=a₁*a₂*a₃*...*a_n≤[(a₁+a₂+a₃+...+a_n)/n]ⁿ=(S/n)ⁿ
接下来就有点问题了……
此不等式当且仅当a₁=a₂=a₃=...=a_n=S/n时取到“=”。但由于是正整数，所以还要讨论……以我的水平做不了……
如果不考虑正整数，我也只能求导：设函数f(n)=(S/n)ⁿ
f'(n)=[(Sⁿ)/(nⁿ)]'
补充个公式：(x^x)'=x^x*(ln x+1)
略过一些步骤，得导数为：(S/n)ⁿ*[ln(S/n)-1]
其中(S/n)ⁿ为正，考虑ln(S/n)-1，当n<S/e时大于0，当n>S/e时小于0，因此函数f(n)在(0,S/e)上单调递增，在(S/e,+∞)上单调递减。则当n=S/e时取到极大值（在这里也就是最大值）。但因为n是正整数，且根据图像性质得出右边的下降趋势小于左边的上升趋势，故当n=[S/e]+1（[x]为不大于x的最大的整数）时取到最大值。即最大值为[S/([S/e]+1)][sup][S/e]+1[/sup]。
如果是正整数的话我就做不了了，还得请高手帮忙。

[ 本帖最后由 NoLifeKing 于 2008-6-25 17:38 编辑 ]

icesheep

提示一下,其实离散的最值问题不需要考虑那么复杂,直接从整数下手即可.

看透几件事情即可
设把 S = a1 + a2 + a3 + ... + an 使 ai乘积最大了.
1.  ai中不可能有1
2.  ai中不可能有比4大的数

后面的自己想咯

darkness

其实应该考虑S除以3的余数.
当S>3时(也只有这样才可以讨论)
S/3=n……1时（n为正整数）
分为(n-1)个3和2个2。
S/3=n……2时（n为正整数）
分为n个3和1个2。
S/3=n……0时（n为正整数）
分为n个3。
此时积最大。