f(x)=x²-3x+2，g(x)=x⁵+x²+6，…，

　　当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)

　　f(1)=1²-3×1+2=0；

　　f(-2)=(-2)²-3×(-2)+2=12．

　　若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

　　定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

　　根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

　　定理2

　　的根，则必有p是a₀的约数，q是a_n的约数．特别地，当a₀=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a_n的约数．

　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

　　例2 分解因式：x³-4x²+6x-4．

　　分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有

　　f(2)=2³-4×2²+6×2-4=0，

　　即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．

　　解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．

　　原式=(x³-2x²)-(2x²-4x)+(2x-4)

　　　　=x²(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)

　　　　=(x-2)(x²-2x+2)．

　　解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，

　　所以

原式=(x-2)(x²-2x+2)．

　　说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．

　　例3 分解因式：9x⁴-3x³+7x²-3x-2．

　　分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±

为：

　　所以，原式有因式9x²-3x-2．

　　解 9x⁴-3x³+7x²-3x-2

　　　=9x⁴-3x³-2x²+9x²-3x-2

　　　=x²(9x³-3x-2)+9x²-3x-2

　　　=(9x²-3x-2)(x²+1)

　　　=(3x+1)(3x-2)(x²+1)

　　说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

　　可以化为9x²-3x-2，这样可以简化分解过程．

　　总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．

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