待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

　　在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

　　例1 分解因式：x²+3xy+2y²+4x+5y+3．

　　分析 由于

　　(x²+3xy+2y²)=(x+2y)(x+y)，

　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

　　解 设

　　x²+3xy+2y²+4x+5y+3

　　=(x+2y+m)(x+y+n)

　　=x²+3xy+2y²+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

　　比较两边对应项的系数，则有

　　解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

　　说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．

　　例2 分解因式：x⁴-2x³-27x²-44x+7．

　　分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x²+ax+b)(x²+cx+d)的形式．

　　解 设

　　原式=(x²+ax+b)(x²+cx+d)

　　　　=x⁴+(a+c)x³+(b+d+ac)x²+(ad+bc)x+bd，

　　所以有

　　由bd=7，先考虑b=1，d=7有

　　所以

　　原式=(x²-7x+1)(x²+5x+7)．

　　说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

　　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．