三角函数及其最值知识回顾

本节公式中，s=1/2(a+b+c),r为内切圆半径，R为外接圆半径，Δ为三角形面积.

（一).三角形中的各种关系

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．

1．角与角关系：A+B+C = π，

2．边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，

a－b < c，b－c < a，c－a > b．

3．边与角关系：

1）正弦定理

2）余弦定理 c² = a²+b²－2bccosC，b² = a²+c²－2accosB，a² = b²+c²－2bccosA．

它们的变形形式有：a = 2R sinA，，．

3）射影定理： a＝b·cosC＋c·cosB，

b＝a·cosC＋c·cosA，

c＝a·cosB＋c·cosA．

面积公式：

三角形内角定理的变形

由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出：

sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）．

而．有：，．

（二）映射和函数的概念，函数的单调性

三角函数及其最值例题讲解

1．已知函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线对称，则函数y＝asin2x-cos2x的图象关于下列各点中对称的是（　）

A．（，0）　　　　 B．（，0）　　C．（，0）　　　　 D．（，0）

分析

sin2x＋acos2x

这就是说将函数y＝sin2x＋acos2x的图像向右平移个单位就可以得到函数

y＝asin2x-cos2x的图象，再由已知得函数y＝asin2x-cos2x的图象关于直线对称，即关于直线对称，记f (x)= asin2x-cos2x,则有

，得，即，所以方程

的解就是函数y＝asin2x-cos2x的图象的对称点的横坐标，

由，容易检验，只有选项B适合.

评注 正弦曲线的对称轴一定通过曲线的最高点或最低点，其对称点就是函数的零点。

2. 函数y =的图像是（　）

分析 该函数的定义域为,淘汰选项C和D; 又由其图象知当x =0时，y=0，所以选A.

评注 检验法是解选择题，填空题常用的极为有效地方法.

练习 求周长为l的直角三角形内切圆半径的最大值．

3． 已知定义在实数R上的函数不恒为零，同时满足且当x>0时，，那么当时，一定有（ ）.

分析 令x = y =0,得f (0) = f(0)f(0), 又，所以f (0) =1; 再令y = - x , 得

f (0) = f (x)f(-x) =1, 又对一切恒成立，设x <0, 则 – x>0, 由已知得

f (- x) >1, 所以 0 < ,选 D

评注 对于抽象函数，通常采用赋值法，求出f (0), f (1)等

4． 设实数m、n、x、y满足，，其中a、b为正的常数，则的最大值是（　）

A．　　　B．　　　C． 　　　 D．

分析 作换元, , 则

，选B

评注 也可以直接利用柯西不等式 ，该不等式用平面向量的数量积易证.设，由立即得证.

练习 已知实数 x, y满足，试求的取值范围.

解 作换元 x = r cosΦ, y = rsinΦ,r>0,则

得 ，又，所以的取值范围是[2，6]

5． 函数的图象如图所示，其定义域为

[-4，4]，那么不等式的解集为

。

分析 函数y = sinx 在区间

或上取正值，在区间

或上取负值，

在数轴上分别标出函数f (x), sinx在区间[-4，4]上的零点，

容易看出在上述六个区间上的取值符号，并且注意f(x)的零点属于该不等式的解集，但要去掉sinx的零点，于是的解集为

.

6．非等边三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边，求的取值范围.

解：由正弦定理 得

∵BC是最长边，且三角形为非等边三角形

∴

, 又 , ∴

∴

故 的取值范围为

7． 如图，已知在等边△ABC中，AB＝3，O为中心，过O的直线交AB于M，AC于N，设∠AOM＝(60°≤≤120°)，当分别为何值时，取得最大值和最小值．

解：由题意可知：∠OAM＝30°，

则∠AMO＝180°－（θ＋30°）

由正弦定理得：＝，

又OA=

∴

同理：

∴

∵60°≤θ≤120°，∴≤2sinθ≤2

故当θ＝60°或120°时，的最小值为；

当θ＝90°时，的最大值为2．

8．在锐角中，角A、B、C成等差数列，

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）试比较与的大小，并说明理由。

分析

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）解 因为A、B、C成等差数列，所以B=

又=

=

< A-C <，，,

当A<C时，A=，C=，此时=_>

所以_>

当A>C时，A=，C= ， =_>1 ，

所以_>, 综合得 >

9．设、为常数，：把平面上任意一点

（，）映射为函数

（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；

（2）证明：当时，，这里t为常数；

（3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M₁作为象，求其原象，并说明它是什么图象？

证明(1)假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，

即 对一切实数x均成立。

特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.

故不存在两个不同点对应同函数。

（2）当时，可得常数a₀，b₀，使

。

由于为常数，设是常数.

从而。

（3）设，由此得

（，）

在映射F下，的原象是（m，n），则M₁的原象是