Ⅰ．二项式定理

2．二项展开式的通项

它是展开式的第r+1项.

3．二项式系数

4．二项式系数的性质

（1）

（2）

（3）若n是偶数，有，即中间一项的二项式系数最大.

若n是奇数，有，即中项二项的二项式系数相等且最大.

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

 

以上组合恒等式（是指组合数满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基

本工具.（7）和（8）的证明将在后面给出.

5．证明组合恒等式的方法常用的有

（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明.

（2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.

（3）利用数学归纳法.

（4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.

 

赛题精讲

例1：求的展开式中的常数项.

【解】由二项式定理得

①

其中第项为 ②

在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为

则 ③

由③得r－2k=0，即r=2k，r为偶数，再根据①、②知所求常数项为

【评述】求某一项时用二项展开式的通项.

例2：求的展开式里x⁵的系数.

【解】因为

所以的展开式里x⁵的系数为

【评述】本题也可将化为用例1的作法可求得.

例3：已知数列满足

求证：对于任何自然数n，

是x的一次多项式或零次多项式. （1986年全国高中数学联赛试题）

【思路分析】由是等差数列，则从而可将表示成的表达式，再化简即可.

【解】因为 所以数列为等差数列，设其公差为d

有 从而

由二项定理，知

又因为

从而

所以

当的一次多项式，当零次多项式.

例4：已知a，b均为正整数，且求证：对一切，A_n均为整数.

【思路分析】由联想到复数棣莫佛定理，复数需要，然后分析A_n与复数的关系.

【证明】因为

显然的虚部，由于

所以从而的虚部.

因为a、b为整数，根据二项式定理，的虚部当然也为整数，所以对一切，A_n为整数.

【评述】把A_n为与复数联系在一起是本题的关键.

例5：已知为整数，P为素数，求证：

【证明】

由于为整数，可从分子中约去r！，又因为P为素数，且，所以分子中的P不会红去，因此有所以

【评述】将展开就与有联系，只要证明其余的数能被P整除是本题的关键.

例6：若，求证：

【思路分析】由已知 猜想，因此需要求出，即只需要证明为正整数即可.

【证明】首先证明，对固定为r，满足条件的是惟一的.否则，设

则矛盾.所以满足条件的m和是惟一的. 下面求.

因为

又因为

所以

故

【评述】猜想进行运算是关键.

例7：数列中，，求的末位数字是多少？

【思路分析】利用n取1，2，3，…猜想的末位数字.

【解】当n=1时，a₁=3，

，因此的末位数字都是7，猜想， 现假设n=k时，

当n=k+1时，

从而

于是 故的末位数字是7.

【评述】猜想是关键.

例8：求N=19⁸⁸－1的所有形如为自然数）的因子d之和.

【思路分析】寻求N中含2和3的最高幂次数，为此将19变为20－1和18+1，然后用二项式定理展开.

【解】因为N=19⁸⁸－1=(20－1)⁸⁸－1=(1－4×5)⁸⁸－1

=－

其中M是整数.

上式表明，N的素因数中2的最高次幂是5. 又因为N=(1+2×9)⁸⁸－1

=3²×2×88+3⁴·P=3²×（2×88+9P）其中P为整数.

上式表明，N的素因数中3的最高次幂是2.

综上所述，可知，其中Q是正整数，不含因数2和3.

因此，N中所有形如的因数的和为(2+2²+2³+2⁴+2⁵)(3+3²)=744.

例9：设，求数x的个位数字.

【思路分析】直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.

【解】令

，由二项式定理知，对任意正整数n.

为整数，且个位数字为零.

因此，x+y是个位数字为零的整数.再对y估值，

因为， 且，

所以 故x的个位数字为9.

【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.

例10：已知试问：在数列中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论.

【思路分析】先求出，再将表示成与15有关的表达式，便知是否有无穷多项能被15整除.

【证明】在数列中有无穷多个能被15整除的项，下面证明之.

数列的特征方程为它的两个根为，

所以 （n=0，1，2，…）

由 则

取，由二项式定理得

由上式知当15|k，即30|n时，15|a_n，因此数列中有无穷多个能被15整除的项.

【评述】在二项式定理中，经常在一起结合使用.

 

针对性训练题

1．已知实数均不为0，多项的三根为，求

的值.

2．设，其中为常数，如果求的值.

3．定义在实数集上的函数满足：

4．证明：当n=6m时，

5．设展开式为，求证：

6．求最小的正整数n，使得的展开式经同类项合并后至少有1996项.

（1996年美国数学邀请赛试题）

7．设，试求：

（1）的展开式中所有项的系数和.

（2）的展开式中奇次项的系数和.

8．证明：对任意的正整数n，不等式成立.

（第21届全苏数学竞赛题）