(1)三角形的面积

　　(i)三角形的面积公式

　　　

　　b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．

　　(ii)等底等高的两个三角形面积相等．

　　(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．

　　(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．

　　(2)梯形的面积

　　梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．

　　(3)扇形面积

　　其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．

　　1．有关图形面积的计算和证明

　　解 因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得　　

　　所以，阴影部分AEFBDA的面积是

　　

　　例2 已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S₁=5，S₂=10，S₃=6．求△ABO的面积(图2-128)．

　　解 首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO

　　

　　由题设

　　设S_△AOB=S，则

　　所以

　　例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．

　　分析 如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．

　　解 设未知的两个小三角形的面积为x和y，则

　　即

　　又

　　即

　　①÷②得

　　再由②得x=56．因此

　　S_△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．

　　例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S₁，S₂，S₃，求△ABC的面积．

　　解 为方便起见，设

　　S△QDG=S′₁，S△QIE=S′₂，S△QFH=S′₃，则

　　所以

　　同理可得

　　从①，②，③中可以解得

　　所以

　

　　例5 在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰

　　解 如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故

　　

　　　

　　n²-n-90=0，

　　所以n=10．

　　2．利用面积解题

　　有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．

　　例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．

　　证 如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则

　　S_△ABC＝S_△PAB＋S_△PCB＋S_△PCA

　　　　

　　所以 ax＋by＋cz=2S_△ABC，

　　即ax＋by＋cz为常数．

　　说明 若△ABC为等边三角形，则

　　此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．

　　例7 如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：

　　证 首先，同例2类似，容易证明

　　　

　　　

　

　

　　说明 本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．

　　例8 如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．

　　解 由上题知

　　

　

　　去分母整理得

　　3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324

　　=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，

　　所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．

练习

　　1．填空：

　　________．

　　(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．

　　(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．

　　(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S_△ABO=p₂，S_△CDO=q₂，则S_ABCD=____．

　 △ABC=40．若BE，CD相交于F，则S_△DEF=______．

　　2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．

　　3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．

　　4．在凸五边形ABCDE中，S_△ABC=S_△BCD=S_△CDE=S_△DEA=S_△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．

　　5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S₁=30，S₂=6，求△ADC的面积S．

　　6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：

　　7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．