添加平行线证题,一般有如下四种情况.

例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ,A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试证明你的结论.

答： 当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形.

证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.

在△DBP＝∠AQC中,显然

∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C.

由BP＝CQ,可知

△DBP≌△AQC.

有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC.

于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.

则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP.

所以AB＝AC.

这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.

2 如图2,四边形ABCD为平行四边形,∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE.

证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC

的平行线,得交点P,连PE.

由AB CD,易知△PBA≌△ECD.有

PA＝ED,PB＝EC.

显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有

∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE.

由∠BAF＝∠BCE,可知

∠BAF＝∠BPE.
有P、B、A、E四点共圆.
于是,∠EBA＝∠APE.
所以,∠EBA＝∠ADE.
这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.
2 欲“送”线段到当处
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.
例3 在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：PM＋PN＝PQ.

明：如图3,过点P作AB的平行线交BD

于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC

于K、G,连PG.

由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BC

两边距离相等.有KQ＝PN.

显然, ＝ ＝, 可知PG∥EC.

由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是,

PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ.

这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM＝PK,就有PM＋PN＝PQ.证法非常简捷.

由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.

例4 设M₁、M₂是△ABC的BC边上的点,且BM₁＝CM₂.任作一直线分别交AB、AC、AM₁、AM₂于P、Q、N₁、N₂.试证：＋ ＝ ＋.

证明：如图4,若PQ∥BC,易证结论成立.

若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC

于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于

E.

由BM₁＝CM₂,可知BE＋CE＝M₁E＋

M₂E,易知

＝, ＝,

＝, ＝.

则 ＋ ＝ ＝ ＝ ＋.

所以, ＋ ＝ ＋.

这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.

5 AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：∠FDA＝∠EDA.

证明：如图5,过点A作BC的平行线,分

别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、

N、M.

显然, ＝ ＝.

有BD·AM＝DC·AN. & nbsp; (1)

由 ＝ ＝, 有

AP＝. (2)

由 ＝ ＝, 有

AQ＝. (3)

对比(1)、(2)、(3)有

AP＝AQ.

显然AD为PQ的中垂线,故AD平分∠PDQ.

所以,∠FDA＝∠EDA.

这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.

当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.

6 在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且∠MDN＝90°.如果BM²＋CN²＝DM²＋DN²,求证：AD²＝(AB²＋AC²).

证明：如图6,过点B作AC的平行线交ND

延长线于E.连ME.

由BD＝DC,可知ED＝DN.有

△BED≌△CND.

于是,BE＝NC.

显然,MD为EN的中垂线.有

EM＝MN.

由BM²＋BE²＝BM²＋NC²＝MD²＋DN²＝MN²＝EM²,可知△BEM为直角三角形,∠MBE＝90°.有

∠ABC＋∠ACB

＝∠ABC＋∠EBC＝90°.

于是,∠BAC＝90°.

所以,AD²＝ ＝(AB²＋AC²).

这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.

例7 如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点E、F,使EA＝DA,FB＝DB.过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平分EF.

证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连FA、EB.易知

DB²＝FB²＝AB·HB,

AD²＝AE²＝AG·AB.

二式相减,得

DB²－AD²＝AB·(HB－AG),

或 (DB－AD)·AB＝AB·(HB－AG).

于是,DB－AD＝HB－AG,

或DB－HB＝AD－AG.

就是DH＝GD.

显然,EG∥CD∥FH.

故CD平分EF.

这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH,从而得到G、H两点.证明很精彩.

经过一点的若干直线称为一组直线束.

一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.

如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有

＝＝,

即 ＝ 或 ＝.

此式表明,DM＝ME的充要条件是

BN＝NC.

利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.

8 如图9,ABCD为四边形,两组对边延长后得交点E、F,对角线BD∥EF,AC的延长线交EF于G.求证：EG＝GF.

证明：如图9,过C作EF的平行线分别交AE、

AF于M、N.由BD∥EF,可知MN∥BD.易知

S_△BEF＝S_△DEF.

有S_△BEC＝S_{△ⅡKG－ *5ⅡDFC}.

可得MC＝CN.

所以,EG＝GF.

例9 如图10,⊙O是△ABC的边BC外的旁切圆,D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB的切点.若OD与EF相交于K,求证：AK平分BC.

证明：如图10,过点K作BC的行平线分别

交直线AB、AC于Q、P两点,连OP、OQ、

OE、OF.

由OD⊥BC,可知OK⊥PQ.

由OF⊥AB,可知O、K、F、Q四点共圆,有

∠FOQ＝∠FKQ.

由OE⊥AC,可知O、K、P、E四点共圆.有

∠EOP＝∠EKP.

显然,∠FKQ＝∠EKP,可知

∠FOQ＝∠EOP.

由OF＝OE,可知

Rt△OFQ≌Rt△OEP.

则OQ＝OP.

于是,OK为PQ的中垂线,故

QK＝KP.

所以,AK平分BC.