当涉及到等比数列证明的时候，通常从以下三个方面考虑：
(1) 用定义,证明任意相邻两项的比是常量；
(2) 应用等比数列的性质
(3) 应用等比中项的形式
有时上述三种方式兼用之。
这类问题，实质上就是条件等式的证明。
特殊数列的判定是运用特殊数列的公式、性质、计算、证明的前提，也是解答数列竞赛题的跳板，务必牢靠掌握.

例 设a₁,a₂,a₃,a₄,a₅为非零实数，且(a₁²+a₂²+a₃²+a₄²)(a₂²+a₃²+a₄²+a₅²)=(a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+a₄a₅)²,求证：a₁,a₂,a₃,a₄,a₅成等比数列。
分析：要证a1,a2,a3,a4,a5成等比数列，转化证a₂/a₁=a₃/a₂=a₄/a₃=a₅/a₄,结合已知条件进一步转化证a₂²=a₁a₃,a₃²=a₂a₄,a₄²=a₃a₅. 这直接可由已知等式进行展开、化简、移项、配方既得。
证明：将已知等式分别展开化简，并移项配方得：
(a₁a₃-a₂²)²+(a₁a₄-a₂a₃)²+(a₂a₄-a₃²)²+(a₁a₅-a₂a₄)²+(a₃a₅-a₄²)²+(a₂a₅-a₃a₄)²=0
故a₁a₃=a₂², a₂a₄=a₃², a₃a₅=a₄², 还有a₁a₄=a₂a₃, a₁a₅=a₂a₄, a₂a₅=a₃a₄
因而a₂/a₁=a₃/a₂=a₄/a₃=a₅/a₄.
故a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.

解题后思考：此题还有其他证法吗？
观察所给条件式,联想柯西不等式的结构,留意等号成立的条件,可在不等中求出相等.
另证：由柯西不等式知
(a₁²+a₂²+a₃²+a₄²)(a₂²+a₃²+a₄²+a₅²)≥(a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+a₄a₅)²
当且仅当a₂/a₁=a₃/a₂=a₄/a₃=a₅/a₄时等号成立.
故欲使(a₁²+a₂²+a₃²+a₄²)(a₂²+a₃²+a₄²+a₅²)=(a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+a₄a₅)²,必须且只需a₂/a₁=a₃/a₂=a₄/a₃=a₅/a₄
即a1,a2,a3,a4,a5成等比数列。
拓展与延伸：
1. (例1的一般形式)若数列{a_n}(n≥3,a_n≠0)满足条件:
(a₁²+a₂²+a₃²+...+a_n-1²)(a₂²+a₃²+a₄²+...+a_n²)=(a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+...+a_n-1a_n)²
则数列{a_n}是等比数列.
(进一步了解本题：http://www.math15.com/bbs/thread-4627-1-1.html)