试题详见：2004年湖南高中数学竞赛试题
一、选择题： ADCBC CCCBA
二、填空题：
11. 25 12.
13. 4 14. 1
13. 4 14. 1 三、解答题：
15.证明(1).若A=φ，则A
B 显然成立；
B 显然成立；若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 AB.
B. 解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即
的实根.
的实根. 由 A≠φ，知 a=0 或 
即 
即 B中元素是方程 
即 
的实根
即 的实根由AB，知上方程左边含有一个因式
，即方程可化为
B，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为
因此，要A=B，即要方程 
①
①要么没有实根，要么实根是方程 
② 的根.
② 的根.若①没有实根，则
，由此解得 
，由此解得 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 
，代入①有 2ax+1=0.
，代入①有 2ax+1=0.由此解得 
,再代入②得 
由此解得 
.
,再代入②得 由此解得 .故 a的取值范围是 
16.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：
，且
，且
①只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.
由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.
则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)
依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 
.
.令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(
)=123+
)=123+因为 0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax=125.
因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.
17.证明：令 
,则有 
，且 
,则有 ，且 于是 
由算术-几何平均值不等式，可得
+
注意到 
，可知
，可知 
，即 
18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.
因为 
又 
，所以 
，由题意得 
.
，所以 ，由题意得 .此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).
所以C点的轨迹方程为 
(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 
显然有 △≥0， 所以 
而由椭圆第二定义可得
只要考虑 
的最小值，即考虑
取最小值，显然.
的最小值，即考虑取最小值，显然.当k=0时，
取最小值16.
取最小值16.当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得 
但 ，故
，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集.
，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集.19.证明：由 题意可得 
，且α、β、 
，且α、β、 所以 
因为 
，所以 
，所以 当
时，
.
时，.当
时，
，同样有
时，，同样有 故
另一方面，不妨设 
，则 
，则 令 
，
，则 
因为 
，所以 
，所以 所以 
所以 
如果运用调整法，只要α、β、
不全相等，总可通过调整，使
增大.
不全相等，总可通过调整，使增大.所以，当α=β==
时，α+β+取最大值 3.
=时，α+β+取最大值 3.综上可知， 
点击进入试题：2004年湖南高中数学竞赛试题