一. 设H是锐角△ABC的垂心，以BC的中点为圆心且过H的圆交BC于A₁、A₂，用类似的方法定义B₁、B₂，C₁、C₂。求证：六点A₁、A₂、B₁、B₂、C₁和C₂共圆。

二.(1)若x、y和z是不为1的实数，且xyz=1，求证

(2)求证：有无穷多个三元有理数组(x，y，z)使得(1)中的等式成立。

三.求证：存在无穷多个正整数n，使得n²+1有大于2n+ 的质因子.

四. 求所有的函数f:(0,+∞)→(0,+∞)，满足对所有的正实数对w，x，y，z，wx=yz，都有：

五.设n和k都是正整数，k≥n，且k-n是一个偶数，2n盏灯依次编号为1,2,...,2n，每一盏灯可以"开“和”关“，开始时，所有的灯都是“关 ”的。对这些灯可进行操作，每一次操作只改变其中的一盏灯的开关状态（即“开”变成“关”，“关”变成“开”），我们考虑长度为k的操作序列，序列中的第 i项就是第i次操作时被改变开关状态的那盏灯的编号。设n是k次操作后使得灯1,2,...,n是“开”的，灯n+1,n+2,...,2n是“关”的状态的所有不同的操作序列的个数。设n是k次操作后使得灯1,2,...,n是“开”的，灯n+1,n+2,...,2n是“关”的，但是灯 n+1,n+2,...,2n始终没有被开过的所有不同的操作序列的个数。
求比值：n/m

六. 在凸四边形ABCD中，BA≠BC，w₁和w₂分别是△ABC和△ADC的内切圆，假设存在一个圆w与射线BA相切，(切点不在线段BA上),与射线BC相切(切点不在线段BC上)，且与直线AD和直线CD都相切。证明：圆w₁和圆w₂的两条外公切线的交点在圆w上。