本文是第四届希望杯全国数学邀请赛答案

试题请看：第四届希望杯初一第一试试题(1993)

一、选择题

提示：

若a=1，m=3排除 A，若a=-1，m=-3排除 B．

=

=1993-1992+[1993-(-1)]=1+1994=1995 ，选C．

3 ．因a＜ b所以a-b＜0，此时 |a-b|=b-a．

所以(a-b)|a-b|=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-(a-b) ² ，选D．

的是B．

7 ．当a=0，显然 A，B，C，均不正确，应排除，所以选 D．事确上，对任意有理数a，都有(a-1993) ² ≥0，所以(a-1993) ² +0.001 ＞ 0是正数．

9 ．b=1＞ 0，a=2＞0， ab=2×1=2＞1=b，排除 A；a＜0， b＜0，ab＞ 0＞b，排除B； a=0，b＜0， ab=0＞b排除D，因此选择 C．

10 ．容易看出 a，b，c均为负数，我们看 |a|，

11 ．由 (a-b) ³ ＜0，得出 a-b＜0．即a＜ b．

∵a，b＜ 0，∴|a|＜|b|，选 C．

12 ．M=(a+b) ² ，N=a+b ² ．

M-N=(a+b) ²-(a+b ² )=a ² +2ab+b ²-a-b ² =a ² +2ab-a ．

14 ．第 1行只有1=2 ⁰ ，第2行1+1=2=2 ¹ ，

第3行1+2+1=4=2 ² ，第4行1+3+3+1=8=2 ³ ，

第5行1+4+6+4+1=16=2 ⁴ ，

第6行1+5+10+10+5+1=32=2 ⁵

第7行1+6+15+20+15+6+1=64=2 ⁶ ．

图中填入所有数之和为1+2+4+8+16+32+64=127，选 B．

二、填空题

提示：

1 ．在-a与 a之间的整数为2n+1个．所以由2n+1=1993知， n=996，即996≤a＜ 997．

2 ．相邻的两个正整数设为 n与n+1，则由(n+1) ² -n ² =2n+1=999 得 n=499，n+1=500．

相邻的两个正整数的积为499×500=249500．

4 ．设第 1站到第7站上车的乘客依次为a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ， a ₄ ，a ₅ ，a ₆ ，a ₇ ．第 2站到第8站下车的乘客依次为b ₂ ，b ₃ ，b ₄ ， b ₅ ，b ₆ ，b ₇ ，b ₈ 显然应有 a ₁+a ₂ +a ₃ +a ₄+a ₅ +a ₆ +a ₇=b ₂ +b ₃ +b ₄+b ₅ +b ₆ +b ₇+b ₈ ．

已知a ₁ +a ₂+a ₃ +a ₄ +a ₅+a ₆ =100 ， b ₂+b ₃ +b ₄ +b ₅+b ₆ +b ₇ =80 ．

表明从前6站上车而在终点站下车的乘客共 20人．

5 ．原式 =5 ²+7 ² +9 ² +11 ²=276 ．

6 ．若1993u ^m v ⁿ 与u ^3mv ²ⁿ 为同类项．只能m=0且n=0．与已知条件不合，所以只能 3x ^my ⁿ 与-4x ^n-1 y ^2m-4 为同类项．于是得m=n-1，n=2m-4．解得 m=5，n=6，所以mn=30．

7 ．由于 1993是质数，a ² +b ² ，c ²+d ² 是1993的约数，只能a ² +b ² =1 ，c ² +d ² =1993 ，或 a ²+b ² =1993 ， c ²+d ² =1 ，所以 a ²+b ² +c ² +d ²=1+1993=1994 ．

所有非负整数解的积=0．

14 ．由 2x-8=x+6，解得x=14．所以正三角形边长为 14+6=20．

由3y+2=20，解得y=6，所以

15 ．设这个班共有学生 x人．在操场踢足球的学生共a人，依条件，x， a都是自然数，且1≤a＜ 6．

根据题意列方程如下：

合并同类项，移项得

因为a，x均为自然数， (3，28)=1所以3|a．

但a只能取1， 2，3，4， 5这五个数，所以a=3．因此x=28．

答：这个班共有28名学生．

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