第四届全国中学生数学冬令营

一、在半径为1的圆周上，任意给定两个点集A、B，它们都由有限段互不相交的弧组成，其中B的每段的长度都等于 π/m，m 是自然数。用 A^j 表示将集合A反时针方向在圆同上转动 jπ/m 弧度所得的集合(j=1, 2, ...)。
求证：存在自然数 k，使得 L(A^j∩B)≧L(A)L(B)/(2π)。这里 L(x) 表示组成点集x的互示相交的弧段的长度之和。

二、设x₁, x₂, ... , x_n都是正数(n≥2)且x₁+ x₂+ ... +x_n=1。设 X_i = x_i/√(1 - x_i), Y_i = √x_i 。
求证：X₁ + X₂ + ... +X_n = ( Y₁ + Y₂ + ... + Y_n)/√(n - 1)
三、设S为复平面上的单位圆周(即模为1的复数的集合)，f 为从S到S的映射，对于任意S的元素 z，定义 f⁽¹⁾(z)=f(z)，f⁽²⁾(z)=f( f(z))，...，f^(k)(z)=f( f(k-1)(z) )。如果S的元素c，使得 f⁽¹⁾(z)≠c，f⁽²⁾(c)≠c，...，f^(n-1)(c)≠c，f⁽ⁿ⁾(c)≠c。则称 c为f的n─周期点。设 m 是大于1的自然数，f定义为f(z)=z^m，试计算f的1989─周期点的总数。

四、设点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上，且△AEF、△BFD、△CDE的内切圆有相等的半径 r，又以 r₀ 的 R 分别表示△DEF 和△ABC的内切圆半径。求证：r + r₀ = R。

五、空间中有1989个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形。（对不起，这个题目的最初叙述我还没有找到）

六、设f：(1, +∞)→(0, +∞)满足以下条件：对于任意实数x、y>1，及u、v>0，有f(x^uy^v)≤f(x)^1/(4u)f(y)^1/(4v)。试确定所有这样的函数。