第七届全国中学生数学冬令营 一、设方程xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... +a 1x + a0 = 0的系数都是实数，且适合条件0<a0≦a1≦a2≦....≦an-1≦1。已知λ为方程的复数根且适合条件|λ|=1，试证：λn+1=1。 二、设x1, x2, ... , xn为非负实数，记 xn+1...

第六届全国中学生数学冬令营 一、平面上有一凸四边形ABCD。 (i) 如果平面上存在一点P，使得ΔABP、ΔBCP、ΔCDP、ΔDAP面积都相等，问四边形ABCD应满足甚么条件？ (ii) 满足(i)的点P，平面上最多有几个？证明你的结论。 二、设I=[0,1]，G={ (x, y) |...

第五届全国中学生数学冬令营 一、如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于E、F。求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。   二、设x是一个自然数，若一串自然数x0=1, x2, ... , xn=x满足　 x...

第四届全国中学生数学冬令营 一、在半径为1的圆周上，任意给定两个点集A、B，它们都由有限段互不相交的弧组成，其中B的每段的长度都等于 π/m，m 是自然数。用 Aj 表示将集合A反时针方向在圆同上转动 jπ/m 弧度所得的集合(j=1, 2, ...)。 求证：存在自然数 k，使得 L...

第三届全国中学生数学冬令营 一、 设a1, a2, ... , an是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , rn为实数，如果不等式 r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+rn(xn-an)≤√(x12+ x22+ ... + xn2) + √(a12+ a22+ ... + an2) 对任何实数x1, x2, ... , xn成立，求r1, r2, ... ,...

第二届全国中学生数学冬令营 一、设n为自然数，求方程zn+1 - zn - 1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。 二、把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放...

第一届全国中学生数学冬令营 一 、 已知 a1, a2, ... , an 为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足 x1+ x2+ ... +xn = 1 的任意非负实数 x1, x2, ... , xn，有不等式 a1x1+ a2x2+ ... +anxn ≥ a1x12+ a2x22+ ... +anxn2 成立。请证明上述命题及其逆命...