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整边三角形 [复制链接]

watt5151

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发表于 2010-8-24 23:28:17 |显示全部楼层

10数联积分

哪个整边三角形，它的周长等于1000

它有一内角等于另一内角的2倍？

(整边三角形：边长为整数)

更多: http://www.math15.com/forum.php?mod=viewthread&tid=6825&page=3#lastpost

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苏剑林

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发表于 2011-7-19 14:20:31 |显示全部楼层

是不是225，375，400为三边？

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watt5151

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发表于 2011-7-19 17:42:31 |显示全部楼层

苏剑林发表于 2011-7-19 14:20
是不是225，375，400为三边？

结果对的,怎样算出来?

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watt5151

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发表于 2011-7-19 17:44:29 |显示全部楼层

另外,下题怎样算:

哪个整边三角形，它的周长最小

它有一内角是另一内角的2倍？

(整边三角形：边长为整数)

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苏剑林

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发表于 2011-7-19 17:45:32 |显示全部楼层

本帖最后由苏剑林于 2011-7-19 17:48 编辑

watt5151 发表于 2011-7-19 17:42
结果对的,怎样算出来?

http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1417/
过程写在了这里。

设三边为a,b,c，对应的角为A,B,C，并且设B=2A。根据已知条件，我们有a+b+c=1000

根据余弦定理，我们有 $cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

根据正弦定理，我们有 $\frac{a}{sin A}=\frac{b}{sin 2A}=\frac{b}{2sin A cos A}$

把cos A的表达式代入上式，得到： $a=\frac{b}{2(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})}$

即 $\frac{c}{a}=1+(\frac{c}{b})^2-(\frac{a}{b})^2$

在上边的式子中， $\frac{c}{a}$ 可以写成 $\frac{c//b}{a//b}$ ，只要令 $\frac{a}{b}=m,\frac{c}{b}=n$ 就可以将上式变成只含有两个未知数的式子。即
$\frac{n}{m}=1+n^2-m^2$

上式可以继续变成 $\frac{n-m}{m}=(n-m)(n+m)$ 。很容易检验 $\color{blue}\displaystyle{n}\ne{m}$ ，那么就有 $\color{blue}\displaystyle{1}={\left({n}+{m}\right)}{m}$ ，换回原来的未知数就是： $\color{blue}\displaystyle{{a}}^{{2}}+{a}{c}={{b}}^{{2}}$ 。此时，最直接的方法就是用计算机编程枚举。当然在数学竞赛中不能这样做，或者有的读者是追求分析的过程，那么就值得把求解计算过程再探讨一番。

经过一系列的尝试后，我想到了以下比较容易计算的思路。在 $\color{blue}\displaystyle{{a}}^{{2}}+{a}{c}={{b}}^{{2}}$ 两边加上 $\color{blue}\displaystyle{{\left(\frac{{1}}{{2}}{c}\right)}}^{{2}}$ ，得到 $\color{blue}\displaystyle{{\left({a}+\frac{{1}}{{2}}{c}\right)}}^{{2}}={{b}}^{{2}}+{{\left(\frac{{1}}{{2}}{c}\right)}}^{{2}}$

这变成了一个勾股数问题（当然我们不知道c是奇数还是偶数）。我们记得所有的勾股数都可以表示成 $\color{blue}\displaystyle{{\left({{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}\right)}}^{{2}}={{\left({{x}}^{{2}}-{{y}}^{{2}}\right)}}^{{2}}+{{\left({2}{x}{y}\right)}}^{{2}}$ ，不妨先令 $\color{blue}\displaystyle{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}={a}+\frac{{1}}{{2}}{c},{{x}}^{{2}}-{{y}}^{{2}}={b},{2}{x}{y}=\frac{{1}}{{2}}{c}$
（这里有一个小小的问题需要思考：为什么不是 $\color{blue}\displaystyle{{x}}^{{2}}-{{y}}^{{2}}=\frac{{1}}{{2}}{c},{2}{x}{y}={b}$ ？）

根据 $\color{blue}\displaystyle{a}+{b}+{c}={1000}$ ，我们有 $x^2+xy=500 => y=\frac{500-x^2}{x}$ 。

$x > y => x > \sqrt{250}=15.8...$
$\color{blue}\displaystyle{y}>{0}\Rightarrow{x}<\sqrt{{{500}}}={22.36}\ldots$

由于 $\color{blue}\displaystyle{{x}}^{{2}}+{x}{y}={500}$ ，因此x,y不可能都是“**.5”的形式，因此c必定为偶数。只需要把x的取值在16～22的整数检验一遍，就可以得出x=20,y=5。由此得到最终结果：
a=225,b=375,c=400

我再思考下面一题

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苏剑林

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发表于 2011-7-19 17:59:54 |显示全部楼层

你的后一道题目把我上边的过程逆过来应该很容易。

如无意外，答案应该是15，是边长为4，5，6的三角形

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watt5151

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发表于 2011-7-19 18:20:53 |显示全部楼层

本帖最后由 watt5151 于 2011-7-19 18:31 编辑

楼上[苏剑林]不愧是数论行家，链接的文章学习了。

[求教]： http://www.math15.com/thread-6825-1-1.html

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苏剑林

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发表于 2011-7-19 18:33:45 |显示全部楼层

本帖最后由苏剑林于 2011-7-19 18:39 编辑

watt5151 发表于 2011-7-19 18:20
楼上[苏剑林]不愧是数论行家，链接的文章学习了。

实在惭愧，我已经有三四年没有研究过数论了。前两天在北大参加夏令营时，到北京天文馆买了一本《素数之恋》，才又开始阅读一下数论方面的内容。

4楼的答案应该是4、5、6吧？

我充其量也是比较擅长计算方面的。其实我很佩服watt5151您的几何能力，要向你请教了。每次碰到几何题目，我的第一思路总是解析几何，解析几何虽然通用，但是很大程度上丧失了几何的美。我的纯几何能力几乎没有，现在顶多能够证证三角形全等之类的问题了...还得多多学习^_^

红色链接有很多题目...是哪一题呢？

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